Moving Average Varianz

Exploration der exponentiell gewichteten Moving Average Volatilität ist die häufigste Maßnahme für das Risiko, aber es kommt in mehreren Geschmacksrichtungen. In einem früheren Artikel haben wir gezeigt, wie man einfache historische Volatilität berechnet. (Um diesen Artikel zu lesen, lesen Sie unter Verwenden der Volatilität, um zukünftiges Risiko zu messen.) Wir verwendeten Googles tatsächliche Aktienkursdaten, um die tägliche Volatilität basierend auf 30 Tagen der Bestandsdaten zu berechnen. In diesem Artikel werden wir auf einfache Volatilität zu verbessern und diskutieren den exponentiell gewichteten gleitenden Durchschnitt (EWMA). Historische Vs. Implied Volatility Erstens, lassen Sie diese Metrik in ein bisschen Perspektive. Es gibt zwei breite Ansätze: historische und implizite (oder implizite) Volatilität. Der historische Ansatz geht davon aus, dass Vergangenheit ist Prolog Wir messen Geschichte in der Hoffnung, dass es prädiktive ist. Die implizite Volatilität dagegen ignoriert die Geschichte, die sie für die Volatilität der Marktpreise löst. Es hofft, dass der Markt am besten weiß und dass der Marktpreis, auch wenn implizit, eine Konsensschätzung der Volatilität enthält. (Für verwandte Erkenntnisse siehe Die Verwendungen und Grenzen der Volatilität.) Wenn wir uns auf die drei historischen Ansätze (auf der linken Seite) konzentrieren, haben sie zwei Schritte gemeinsam: Berechnen Sie die Reihe der periodischen Renditen Anwendung eines Gewichtungsschemas Zuerst werden wir Berechnen die periodische Rendite. Das ist typischerweise eine Reihe von täglichen Renditen, bei denen jede Rendite in kontinuierlich zusammengesetzten Ausdrücken ausgedrückt wird. Für jeden Tag nehmen wir das natürliche Protokoll des Verhältnisses der Aktienkurse (d. H. Preis heute geteilt durch den Preis gestern und so weiter). Dies erzeugt eine Reihe von täglichen Renditen, von u i bis u i-m. Je nachdem wie viele Tage (m Tage) wir messen. Das bringt uns zum zweiten Schritt: Hier unterscheiden sich die drei Ansätze. Wir haben gezeigt, dass die einfache Varianz im Rahmen einiger akzeptabler Vereinfachungen der Mittelwert der quadratischen Renditen ist: Beachten Sie, dass diese Summe die periodischen Renditen zusammenfasst und dann diese Summe durch die Anzahl der Tage oder Beobachtungen (m). Also, seine wirklich nur ein Durchschnitt der quadrierten periodischen kehrt zurück. Setzen Sie einen anderen Weg, jede quadratische Rückkehr wird ein gleiches Gewicht gegeben. Also, wenn alpha (a) ein Gewichtungsfaktor (speziell eine 1m) ist, dann eine einfache Varianz sieht etwa so aus: Die EWMA verbessert auf einfache Varianz Die Schwäche dieser Ansatz ist, dass alle Renditen das gleiche Gewicht zu verdienen. Yesterdays (sehr jüngste) Rückkehr hat keinen Einfluss mehr auf die Varianz als die letzten Monate zurück. Dieses Problem wird durch Verwendung des exponentiell gewichteten gleitenden Mittelwerts (EWMA), bei dem neuere Renditen ein größeres Gewicht auf die Varianz aufweisen, festgelegt. Der exponentiell gewichtete gleitende Durchschnitt (EWMA) führt Lambda ein. Die als Glättungsparameter bezeichnet wird. Lambda muss kleiner als 1 sein. Unter dieser Bedingung wird anstelle der gleichen Gewichtungen jede quadratische Rendite durch einen Multiplikator wie folgt gewichtet: Beispielsweise neigt die RiskMetrics TM, eine Finanzrisikomanagementgesellschaft, dazu, eine Lambda von 0,94 oder 94 zu verwenden. In diesem Fall wird die erste ( (1 - 0,94) (94) 0 6. Die nächste quadrierte Rückkehr ist einfach ein Lambda-Vielfaches des vorherigen Gewichts in diesem Fall 6 multipliziert mit 94 5,64. Und das dritte vorherige Tagegewicht ist gleich (1-0,94) (0,94) 2 5,30. Das ist die Bedeutung von exponentiell in EWMA: jedes Gewicht ist ein konstanter Multiplikator (d. h. Lambda, der kleiner als eins sein muß) des vorherigen Gewichtes. Dies stellt eine Varianz sicher, die gewichtet oder zu neueren Daten voreingenommen ist. (Weitere Informationen finden Sie im Excel-Arbeitsblatt für die Googles-Volatilität.) Der Unterschied zwischen einfacher Volatilität und EWMA für Google wird unten angezeigt. Einfache Volatilität wiegt effektiv jede periodische Rendite von 0,196, wie in Spalte O gezeigt (wir hatten zwei Jahre täglich Aktienkursdaten, das sind 509 tägliche Renditen und 1509 0,196). Aber beachten Sie, dass die Spalte P ein Gewicht von 6, dann 5,64, dann 5,3 und so weiter. Das ist der einzige Unterschied zwischen einfacher Varianz und EWMA. Denken Sie daran: Nachdem wir die Summe der ganzen Reihe (in Spalte Q) haben wir die Varianz, die das Quadrat der Standardabweichung ist. Wenn wir Volatilität wollen, müssen wir uns daran erinnern, die Quadratwurzel dieser Varianz zu nehmen. Was ist der Unterschied in der täglichen Volatilität zwischen der Varianz und der EWMA im Googles-Fall? Bedeutend: Die einfache Varianz gab uns eine tägliche Volatilität von 2,4, aber die EWMA gab eine tägliche Volatilität von nur 1,4 (Details siehe Tabelle). Offenbar ließ sich die Googles-Volatilität in jüngster Zeit nieder, daher könnte eine einfache Varianz künstlich hoch sein. Die heutige Varianz ist eine Funktion der Pior Tage Variance Youll bemerken wir benötigt, um eine lange Reihe von exponentiell sinkende Gewichte zu berechnen. Wir werden die Mathematik hier nicht durchführen, aber eine der besten Eigenschaften der EWMA ist, daß die gesamte Reihe zweckmäßigerweise auf eine rekursive Formel reduziert: Rekursiv bedeutet, daß heutige Varianzreferenzen (d. h. eine Funktion der früheren Tagesvarianz) ist. Sie können diese Formel auch in der Kalkulationstabelle zu finden, und es erzeugt genau das gleiche Ergebnis wie die Langzeitberechnung Es heißt: Die heutige Varianz (unter EWMA) ist gleichbedeutend mit der gestrigen Abweichung (gewichtet mit Lambda) plus der gestrigen Rückkehr (gewogen durch ein Minus-Lambda). Beachten Sie, wie wir sind nur das Hinzufügen von zwei Begriffe zusammen: gestern gewichtet Varianz und gestern gewichtet, quadriert zurück. Dennoch ist Lambda unser Glättungsparameter. Ein höheres Lambda (z. B. wie RiskMetrics 94) deutet auf einen langsameren Abfall in der Reihe hin - in relativer Hinsicht werden wir mehr Datenpunkte in der Reihe haben, und sie fallen langsamer ab. Auf der anderen Seite, wenn wir das Lambda reduzieren, deuten wir auf einen höheren Abfall hin: die Gewichte fallen schneller ab, und als direkte Folge des schnellen Zerfalls werden weniger Datenpunkte verwendet. (In der Kalkulationstabelle ist Lambda ein Eingang, so dass Sie mit seiner Empfindlichkeit experimentieren können). Zusammenfassung Volatilität ist die momentane Standardabweichung einer Aktie und die häufigste Risikomessung. Es ist auch die Quadratwurzel der Varianz. Wir können Varianz historisch oder implizit messen (implizite Volatilität). Bei der historischen Messung ist die einfachste Methode eine einfache Varianz. Aber die Schwäche mit einfacher Varianz ist alle Renditen bekommen das gleiche Gewicht. So stehen wir vor einem klassischen Kompromiss: Wir wollen immer mehr Daten, aber je mehr Daten wir haben, desto mehr wird unsere Berechnung durch weit entfernte (weniger relevante) Daten verdünnt. Der exponentiell gewichtete gleitende Durchschnitt (EWMA) verbessert die einfache Varianz durch Zuordnen von Gewichten zu den periodischen Renditen. Auf diese Weise können wir beide eine große Stichprobengröße, sondern auch mehr Gewicht auf neuere Renditen. (Um ein Filmtutorial zu diesem Thema zu sehen, besuchen Sie die Bionic Turtle.) Portfolio VaR Varianz Kovarianz Ansatz mit der Short Cut Technik PROOF Varianz CoVariance VaR Shortcut Ansatz Portfolio VaR ist eine sehr wichtige Maßnahme zur Bewertung des Marktrisikos im gesamten Portfolio von Ein Unternehmen. Es ist eine Maßnahme, deren Berechnung oft mit Herzbrand verbunden ist, da der Risikomanager die sehr arbeitsintensive Konstruktion der Varianz-Kovarianzmatrix vorsieht. In unseren Kursen zu Value at Risk, Berechnung des Value at Risk amp Portfolio VaR. Schlagen wir eine Abhilfe vor, die dem Benutzer ein gewisses Maß an Komfort bieten sollte - ein kurzer Schnittansatz, der von den Columbia University Business Schools, Professor Mark Broadie, eingeführt wurde. Auf die Matrix unter Verwendung einer gewichteten durchschnittlichen Reihe von Portfolio-Renditen. Jedoch ist es menschliche Natur, ein Doktorrezept in Frage zu stellen, um eine zweite Meinung zu stellen, und weve hatten eine Anzahl von Leuten uns um Beweis, ob unsere Abkürzung leistungsfähigere, praktischere und bequemere Version des berechnenden Portfolios VaR wirklich das VaR des Portfolios gibt Abgeleitet unter Verwendung der traditionellen Varianz-Kovarianzmatrix. Oder die Ergebnisse einfach zufällig, die mathematische Magie per se Der PROOF liegt in der sehr bekannten statistischen Gleichung: Varianz (aXbY) a 2 Varianz (X) b 2 Varianz (Y) 2abKovarianz (X, Y) Die Quadratwurzel der Varianz ist Standardabweichung, die, wie Sie wissen, in Value at Risk Terminologie ist Volatilität, das Gebäude der Simple Moving Average Variance Kovarianz (SMA VCV) Ansatz zur Berechnung der Metrik. Die traditionelle Varianz-Kovarianz-Ansatz-Methodik verwendet den Aufbau der berüchtigten Varianz-Kovarianzmatrix, die in statistischen Gleichungsbezeichnungen durch die rechte Seite (RHS) der obigen Gleichung bezeichnet wird - ein Konglomerat von quadrierten Gewichten, individuellen Asset-Return-Varianzen und Kovarianzen zwischen Paaren von Variablen. Unser kurzer Ansatz konzentriert sich oft auf die linke Seite (LHS) der Gleichung, d. h. auf die Varianz der gewichteten durchschnittlichen Summe der Variablen. Wenn die gewichtete durchschnittliche Summe der Variablen aXbY Z ist, dann brauchen wir nur noch die Varianz von Z. Bei der Value-at-Risk-Berechnung handelt es sich bei den Variablen um die tägliche Rendite-Reihe für jedes Portfolio im Portfolio um die gewichtete Durchschnittssumme von Variablen, , Ist die gewichtete durchschnittliche Summe der täglichen Return-Serie Z ist daher die Portfolio-Return-Serie. Durch das Berechnen der Varianz von Z, der gewichteten täglichen Rückkehrserie, dem Quadratwurzeln des Ergebnisses und dem Anwenden des entsprechenden Multiplikatorfaktors, der das Konfidenzniveau und die Halteperiode repräsentiert, gelangen wir zu dem einfachen gleitenden Durchschnittsvarianz-Kovarianz-VaR-Ergebnis. Low und siehe den Beweis unserer Short-Cut-Ansatz ist wirklich gleich dem SMA VCV VaR mit der traditionellen Varianz Kovarianz-Methodik. Es ist jedoch anzumerken, dass, wenn Sie die EXCEL-Funktionen von VAR () und COVAR () anwenden, um die Varianzen und Kovarianz zu berechnen, wird es einen kleinen Unterschied in den Ergebnissen der traditionellen und effizienten Methoden geben. Der Fehler liegt bei dem herkömmlichen Ansatz, da es eine Inkonsistenz zwischen den Varianz - und Kovarianzformeln gibt, die den EXCEL-Funktionen zugrunde liegen. Die COVAR () - Formel in EXCEL verwendet eine Stichprobengröße von n im Divisor, während VAR () eine Stichprobengröße von n-1 verwendet. Eine einfache Anpassung kann an COVAR () vor der Verwendung im RHS der obigen Gleichung vorgenommen werden, um diese Diskrepanz zu beseitigen, und zwar: Adjusted COVAR () COVAR () n (n-1). Alternativ könnten wir statt der oben angegebenen RHS folgendes verwenden: a 2 Varianz (X) b 2 Varianz (Y) 2abKorrelation (X, Y) Standardabweichung (X) Standardabweichung (Y) Rückruf statistisch Korrelation (X, Y) Kovarianz X, Y) StandardDeviation (X) StandardDeviation (Y) In EXCEL ist die CORREL () - Funktion wie folgt gegeben: Dies bedeutet implizit eine Übereinstimmung zwischen den Varianz - und Kovarianzformeln, da die Divisoren jedes auslöschen. Die Verwendung von CORREL () anstelle von COVAR () beseitigt die Diskrepanz zwischen den Ergebnissen, die mit dem traditionellen Ansatz für SMA VCV Value-at-Risk und mit dem Short-Cut-Ansatz gewonnenen Ergebnissen erzielt wurden. Zusammenhängende Posts: